Исследование функций и построение графиков
Исследование функций и построение графиков
Едва ли можно указать единую схему, пригодную для исследования абсолютно всех функций. Так что едва ли стоит удивляться, что в курсах анализа можно найти множество таких схем — от совсем кратких, похожих на весьма общие указания, до обширных, развернутых, с множеством всевозможных пунктов, в большинстве своем не имеющим никакого отношения к конкретной исследуемой функции. Однако все такие схемы обычно имеют несколько общих пунктов.
Определение интервалов возрастания и убывания функции
Найдем для примера интервалы возрастания и убывания функции у = x3-30x2+225x+l. Сначала определим функцию.
у=х^3-30*х^2+225*х+1
1 + 225 х - 30 х2 + х3
Данная функция — многочлен, поэтому она всюду дифференцируема. Найдем ее производную.
D[y,x] 225 - 60 х + 3х2
Так как и производная — многочлен, разложим его на множители.
Factor[%] 3 (-15+х) (-5+х)
Теперь видим, что производная отрицательна только на интервале (5; 15). На этом интервале функция, следовательно, строго убывает. На интервалах (-?, 5) и (15, ?) производная положительна. Поэтому на этих интервалах функция строго возрастает.
Нахождение локальных экстремумов
У рассмотренной нами функции у = х3-30x2+225с+1 производная обращается в нуль в точках х= 5 и х= 15. Поскольку это простые нули производной, то именно эти точки и являются точками ее локального экстремума. Легко вычислить значения функции в этих точках и построить ее график.
