Возможно, заголовок кажется вам заумным. Может быть, это просто оттого, что вы никогда не слышали о динамических системах. Не беспокойтесь, все очень просто: в данном случае под динамической системой понимается любая система, в которой некоторый параметр определяется рекуррентным уравнением хn+1 =f(xn, r). В частности, под динамической системой можно понимать числовую последовательность, определяемую таким уравнением. Где встречаются такие последовательности? Да почти повсюду. Вот простейший пример.
Допустим, нас интересует изменение численности какого-либо вида животных в определенном районе. Один раз в год мы считаем их и получаем число х. По этим данным можно построить последовательность x1, х2 ..., хn, ... (n = 1 соответствует первому измерению). Логично предположить, что среди этих чисел есть какая-то закономерность. Естественно ожидать, что численность популяции в (n+1)-й год хn+1 зависит от того, сколько животных было год назад, т. е. от величины хn. Поэтому в простейшем случае хn+1 = f(xn, r).
Здесь f— непрерывная функция; r— некий параметр, который зависит от биологических особенностей рассматриваемого вида. В популяционной генетике часто предполагается, что хn+1 = rxn(N-xn).
Эта формула показывает, что численность вида быстро растет, пока она мала (xn<N), и начинает убывать, когда животных становится слишком много. Если сдeлать замену переменных хn = x'nN, r = r'/N, то в новых переменных наше уравнение будет иметь вид х'n+1 = г' х'n(1—х'n). Тем самым мы элиминировали параметр N и привели уравнение к более естественной для математиков форме. Теперь по самому смыслу задачи 0<х'n<1. Простоты ради опустим штрихи и займемся исследованием этой более простой динамической последовательности.
Что же будет происходить с различными видами (т.е. с последовательностями хn+1 = rхn(1— хn) с различными r) по прошествии достаточно долгого времени? Чтобы ответить на этот вопрос для нашей простейшей модели, достаточно выяснить, как будет вести себя последовательность {хn} при различных значениях г. Давайте проведем численный эксперимент. Сначала дадим нужные нам определения.
х[r_][0]=0.5; x[r_][n_]:=x[r1[n]=r х[r][n-1]<1-х[r][n-1])
Таким образом, мы задали начальный член последовательности х0 = 0,5. Теперь положим, r = 3,83, и вычислим первые пятьдесят членов последовательности.