Мультимедиа: геометрия, графика, кино, звук
Теория универсальности или насколько сложным может быть поведение простой динамической системы
Теория универсальности, или насколько сложным может быть поведение простой динамической системы
Возможно, заголовок кажется вам заумным. Может быть, это просто оттого, что вы никогда не слышали о динамических системах. Не беспокойтесь, все очень просто: в данном случае под динамической системой понимается любая система, в которой некоторый параметр определяется рекуррентным уравнением хn+1 =f(xn, r). В частности, под динамической системой можно понимать числовую последовательность, определяемую таким уравнением. Где встречаются такие последовательности? Да почти повсюду. Вот простейший пример.
Допустим, нас интересует изменение численности какого-либо вида животных в определенном районе. Один раз в год мы считаем их и получаем число х. По этим данным можно построить последовательность x1, х2 ..., хn, ... (n = 1 соответствует первому измерению). Логично предположить, что среди этих чисел есть какая-то закономерность. Естественно ожидать, что численность популяции в (n+1)-й год хn+1 зависит от того, сколько животных было год назад, т. е. от величины хn. Поэтому в простейшем случае хn+1 = f(xn, r).
Здесь f— непрерывная функция; r— некий параметр, который зависит от биологических особенностей рассматриваемого вида. В популяционной генетике часто предполагается, что хn+1 = rxn(N-xn).
Эта формула показывает, что численность вида быстро растет, пока она мала (xn<N), и начинает убывать, когда животных становится слишком много. Если сдeлать замену переменных хn = x'nN, r = r'/N, то в новых переменных наше уравнение будет иметь вид х'n+1 = г' х'n(1—х'n). Тем самым мы элиминировали параметр N и привели уравнение к более естественной для математиков форме. Теперь по самому смыслу задачи 0<х'n<1. Простоты ради опустим штрихи и займемся исследованием этой более простой динамической последовательности.
Что же будет происходить с различными видами (т.е. с последовательностями хn+1 = rхn(1— хn) с различными r) по прошествии достаточно долгого времени? Чтобы ответить на этот вопрос для нашей простейшей модели, достаточно выяснить, как будет вести себя последовательность {хn} при различных значениях г. Давайте проведем численный эксперимент. Сначала дадим нужные нам определения.
х[r_][0]=0.5; x[r_][n_]:=x[r1[n]=r х[r][n-1]<1-х[r][n-1])
Таким образом, мы задали начальный член последовательности х0 = 0,5. Теперь положим, r = 3,83, и вычислим первые пятьдесят членов последовательности.
